미적분 예제

${(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$

단계 1

${(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{7}}$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.1.2

$n = \frac{2}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{7} u^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.1.3

$u$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.3

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{2 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.5.2

$2$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{\frac{- 5}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{7} {(x + 4)}^{- \frac{5}{7}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.6.2

$\frac{2}{7}$ 와 ${(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 4)}^{- \frac{5}{7}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.7

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.1.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} (1 + 0)$

단계 2.1.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} \cdot 1$

단계 2.1.10.2

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ 입니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 3.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{7 \sqrt[7]{{(x + 4)}^{5}}}$

단계 5.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{7 \sqrt[7]{{(x + 4)}^{5}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$7 \sqrt[7]{{(x + 4)}^{5}} = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $7$ 승합니다.

${(7 \sqrt[7]{{(x + 4)}^{5}})}^{7} = 0^{7}$

단계 5.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{{(x + 4)}^{5}}$ 을(를) ${(x + 4)}^{\frac{5}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

${(7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{7}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

$7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$7^{7} {({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 5.3.2.2.1.2

$7$ 를 $7$ 승 합니다.

$823543 {({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 5.3.2.2.1.3

${({(x + 4)}^{\frac{5}{7}})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$823543 {(x + 4)}^{\frac{5}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 5.3.2.2.1.3.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$823543 {(x + 4)}^{\frac{5}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 5.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$823543 {(x + 4)}^{5} = 0^{7}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$823543 {(x + 4)}^{5} = 0$

단계 5.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$823543 {(x + 4)}^{5} = 0$ 의 각 항을 $823543$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$823543 {(x + 4)}^{5} = 0$ 의 각 항을 $823543$ 로 나눕니다.

$\frac{823543 {(x + 4)}^{5}}{823543} = \frac{0}{823543}$

단계 5.3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$823543$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{823543 {(x + 4)}^{5}}{823543} = \frac{0}{823543}$

단계 5.3.3.1.2.1.2

${(x + 4)}^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{5} = \frac{0}{823543}$

단계 5.3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

$0$ 을 $823543$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{5} = 0$

단계 5.3.3.2

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 5.3.3.3

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 6

도함수 $f' (x) = \frac{2}{7 {(x + 4)}^{\frac{5}{7}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ 구간에서 $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{2}{7}}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

단계 7

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {((- 5) + 4)}^{\frac{5}{7}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {(- 1)}^{\frac{5}{7}}}$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{5}{7}}}$

단계 7.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{5}{7})}}$

단계 7.2.1.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{5}{7})}}$

단계 7.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 {(- 1)}^{5}}$

단계 7.2.1.5

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{7 \cdot - 1}$

단계 7.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = \frac{2}{- 7}$

단계 7.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 5) = - \frac{2}{7}$

단계 7.2.3

최종 답은 $- \frac{2}{7}$ 입니다.

$- \frac{2}{7}$

단계 7.3

$x = - 5$ 에서의 도함수는 $- \frac{2}{7}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 감소함

단계 8

$(- 4, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = \frac{2}{7 {((- 3) + 4)}^{\frac{5}{7}}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$- 3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 3) = \frac{2}{7 \cdot 1^{\frac{5}{7}}}$

단계 8.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- 3) = \frac{2}{7 \cdot 1}$

단계 8.2.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = \frac{2}{7}$

단계 8.2.3

최종 답은 $\frac{2}{7}$ 입니다.

$\frac{2}{7}$

단계 8.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $\frac{2}{7}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 4, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 4, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 4, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 4)$

단계 10