미적분 예제

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

단계 1

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 2

$f (t) = \log_{2} (t)$ , $g (t) = e^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{t}$ 로 바꿉니다.

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 2.2

$\log_{2} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (2)}$ 입니다.

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $e^{t}$ 로 바꿉니다.

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 3

$\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ 와 $e^{t}$ 을 묶습니다.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 5.2

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 5.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$