미적분 예제

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

단계 1

$f (t) = t^{2} + 8$ , $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 2.4

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 2.5.2

${(3 t - 2)}^{6}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 3

$f (t) = t^{6}$ , $g (t) = 3 t - 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 t - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 t - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $3 t - 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.3

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.6

$- 2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.7.2

${(3 t - 2)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 4.7.3

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 {(3 t - 2)}^{6} t$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.1.2

$(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.1.3

${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.2

$2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (3 t - 2) t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.2.2

$- 18 t^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.2.3

$- 18 \cdot 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.2.4

$2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.2.5

$2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.4

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.4.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.5

$- 9$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.6

$3 t^{2}$ 에서 $9 t^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.7

$- 6 t^{2} - 2 t - 72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$- 6 t^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.7.2

$- 2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.7.3

$- 72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.7.4

$2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.7.5

$2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.2.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${(3 t - 2)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.3.2

${(3 t - 2)}^{5}$ 및 ${(3 t - 2)}^{12}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

${(3 t - 2)}^{12}$ 에서 ${(3 t - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.4

$- 3 t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.5

$- t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.6

$- (3 t^{2}) - (t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.7

$- 36$ 을 $- 1 (36)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.8

$- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.9

$- (3 t^{2} + t + 36)$ 을 $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$