미적분 예제

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

단계 1

해당 도함수는 연쇄법칙을 사용하여 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$f (a) = a x - 2$ , $g (a) = x^{3} - a$ 일 때 $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ 는 $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $a x - 2$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.2

$x$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d a} [a]$ 입니다.

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.5

$- 2$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.6

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{3} - a$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.8

$x^{3}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $x^{3}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $x^{3}$ 입니다.

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.9

$0$ 를 $\frac{d}{d a} [- a]$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.10

$- 1$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $- a$ 의 미분은 $- \frac{d}{d a} [a]$ 입니다.

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.11

곱합니다.

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단계 3.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.11.2

$a x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 3.13

$a x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x^{3} x - a x + a x - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.1.1

$- a x$ 를 $a x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$x^{3} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4.2.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$