미적분 예제

$y = 9 x - x^{2}$ , $y = 2 x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$9 x - x^{2} = 2 x$

단계 1.2

$9 x - x^{2} = 2 x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$9 x - x^{2} - 2 x = 0$

단계 1.2.1.2

$9 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x^{2} + 7 x = 0$

단계 1.2.2

$- x^{2} + 7 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- x^{2}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x + 7 x = 0$

단계 1.2.2.2

$7 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x \cdot x - x \cdot - 7 = 0$

단계 1.2.2.3

$- x (x) - x (- 7)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (x - 7) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 7 = 0 + y = 2 x$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 1.2.6

$- x (x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 7$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 (0)$

단계 1.3.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 7$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $7$ 를 대입합니다.

$y = 2 (7)$

단계 1.4.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y = 14$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(7, 14)$

$(0, 0)$

$(7, 14)$

단계 2

$9 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 9 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{7} - x^{2} + 9 x d x - \int_{0}^{7} 2 x d x$

단계 4

$0$ 과(와) $7$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{7} - x^{2} + 9 x - (2 x) d x$

단계 4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{7} - x^{2} + 9 x - 2 x d x$

단계 4.3

$9 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{7} - x^{2} + 7 x d x$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{7} - x^{2} d x + \int_{0}^{7} 7 x d x$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 7 x d x$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 7 x d x$

단계 4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 7 x d x$

단계 4.8

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 \int_{0}^{7} x d x$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7})$

단계 4.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7})$

단계 4.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.1

$7$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7})$

단계 4.10.2.2

$7$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.1

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{343}{3} - 0) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- (\frac{343}{3} + 0) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.5

$\frac{343}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.6

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.10.2.3.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2})$

단계 4.10.2.3.8

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.8.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 4.10.2.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.10.2.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.10.2.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1})$

단계 4.10.2.3.8.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - 0)$

단계 4.10.2.3.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} + 0)$

단계 4.10.2.3.10

$\frac{49}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2})$

단계 4.10.2.3.11

$7$ 와 $\frac{49}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 49}{2}$

단계 4.10.2.3.12

$7$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$- \frac{343}{3} + \frac{343}{2}$

단계 4.10.2.3.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{343}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{343}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{343}{2}$

단계 4.10.2.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{343}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{343}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.10.2.3.15

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.15.1

$\frac{343}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{343 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.10.2.3.15.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.10.2.3.15.3

$\frac{343}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

단계 4.10.2.3.15.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343 \cdot 3}{6}$

단계 4.10.2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 343 \cdot 2 + 343 \cdot 3}{6}$

단계 4.10.2.3.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.2.3.17.1

$- 343$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 686 + 343 \cdot 3}{6}$

단계 4.10.2.3.17.2

$343$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 686 + 1029}{6}$

단계 4.10.2.3.17.3

$- 686$ 를 $1029$ 에 더합니다.

$\frac{343}{6}$

단계 5