미적분 예제

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

단계 1.2

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{4}{9} x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

단계 1.2.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

단계 1.2.1.3

$\frac{4}{9}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

단계 1.2.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.2.3

$x^{2}$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.2.5.2

$4 x^{2}$ 를 $9 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

단계 1.2.3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$13 x^{2} = 13$

단계 1.2.4

$13 x^{2} = 13$ 의 각 항을 $13$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$13 x^{2} = 13$ 의 각 항을 $13$ 로 나눕니다.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

단계 1.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$13$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

단계 1.2.4.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{13}{13}$

단계 1.2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.1

$13$ 을 $13$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 1.2.6

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 1.2.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 1.2.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 1.2.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 1.3

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

단계 1.3.2.2

$\frac{13}{9} - 1^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{13}{9} - 1$

단계 1.3.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

단계 1.3.2.2.3

$- 1$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

단계 1.3.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

단계 1.3.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.5.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y = \frac{13 - 9}{9}$

단계 1.3.2.2.5.2

$13$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$y = \frac{4}{9}$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

단계 2

$\frac{4}{9}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

단계 3

$\frac{13}{9}$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

단계 4

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

단계 5

$- 1$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

단계 5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

단계 5.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- x^{2}$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

단계 5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

단계 5.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

단계 5.3.4

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

단계 5.3.5

$- 9 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 13 x^{2} + 13$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$- 13 x^{2}$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

단계 5.4.1.2

$13$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

단계 5.4.1.3

$13 (- x^{2}) + 13 (1)$ 에서 $13$ 를 인수분해합니다.

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

단계 5.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

단계 5.4.3

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

단계 5.4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

단계 5.5

$\frac{13}{9}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{13}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

단계 5.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

단계 5.6.4

$x$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

단계 5.6.5

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

단계 5.6.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

단계 5.6.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

단계 5.6.8

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

단계 5.6.9

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

단계 5.6.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

단계 5.6.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

단계 5.6.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

단계 5.6.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

단계 5.6.14

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

단계 5.6.15

$0$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

단계 5.6.16

$1$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

단계 5.7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 5.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 5.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 5.10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

단계 5.11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

단계 5.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

단계 5.12.2

$1$ , $- 1$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

단계 5.12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

단계 5.12.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

단계 5.12.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

단계 5.12.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

단계 5.12.3.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

단계 5.12.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

단계 5.12.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

단계 5.12.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

단계 5.12.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

단계 5.12.3.10

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

단계 5.12.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

단계 5.12.3.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.3.12.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

단계 5.12.3.12.2

$- 2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

단계 5.12.3.13

$\frac{13}{9}$ 에 $\frac{4}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

단계 5.12.3.14

$13$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

단계 5.12.3.15

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{27}$

단계 6