미적분 예제

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 1.2.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

단계 1.2.1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

$1$ 각 수의 소인수를 나열합니다.

단계 1.2.1.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.2.1.5

$1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2.1.6

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x = x$

단계 1.2.1.7

$x^{2}$ 의 인수는 $x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$x^{2} = x \cdot x$

단계 1.2.1.8

$x^{1}, x^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2.1.9

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2.2

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 1.2.2.1

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

단계 1.2.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.3.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

단계 1.2.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 1$

단계 1.3

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

단계 1.3.2

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

단계 1.3.2.2

$\frac{1}{1^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{1}{1}$

단계 1.3.2.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 1$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, 1)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3

$1$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.6.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 3.6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 3.6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

단계 3.7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 3.8

답을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.8.1.1

$2$ , $1$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 3.8.1.2

$2$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.8.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.8.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

단계 3.8.1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

단계 3.8.1.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

단계 3.8.1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

단계 3.8.1.3.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

단계 3.8.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

단계 3.8.3

간단히 합니다.

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단계 3.8.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

단계 3.8.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

단계 3.8.3.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

단계 4