미적분 예제

$y = \frac{1}{4} x^{2}$ , $y = 5 - x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

단계 1.2

$\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{4} x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + \frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

단계 1.2.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

단계 1.2.1.3

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{4} = 5 - x^{2}$

단계 1.2.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{x^{2}}{4} + x^{2} = 5$

단계 1.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{4} + x^{2} \cdot \frac{4}{4} = 5$

단계 1.2.2.3

$x^{2}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 4}{4} = 5$

단계 1.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 4}{4} = 5$

단계 1.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x^{2}}{4} = 5$

단계 1.2.2.5.2

$x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{2}}{4} = 5$

단계 1.2.3

방정식의 양변에 $\frac{4}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{2}}{4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{2}}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.1

조합합니다.

$\frac{4 (5 x^{2})}{5 \cdot 4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (5 x^{2})}{5 \cdot 4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.1.1.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{4}{5} \cdot 5$

단계 1.2.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 4$

단계 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 1.2.6

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 1.2.6.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 1.2.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 1.2.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 1.3

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 5 - {(2)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = 5 - {(2)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 5 - 2^{2}$

단계 1.3.2.2

$5 - 2^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 5 - 1 \cdot 4$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = 5 - 4$

단계 1.3.2.2.2

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = 1$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

단계 2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2}}{4}$

단계 3

$5$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 5$

단계 4

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x$

단계 5

$- 2$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 5 - (\frac{x^{2}}{4}) d x$

단계 5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{2}}{4} + 5 d x$

단계 5.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- x^{2}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{x^{2}}{4} + 5$

단계 5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 4 - x^{2}}{4} + 5$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 4 - x^{2}}{4} + 5 d x$

단계 5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$- x^{2} \cdot 4 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$- x^{2} \cdot 4$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4) - x^{2}}{4} + 5$

단계 5.4.1.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4) + x^{2} \cdot - 1}{4} + 5$

단계 5.4.1.1.3

$x^{2} (- 1 \cdot 4) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4 - 1)}{4} + 5$

단계 5.4.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (- 4 - 1)}{4} + 5$

단계 5.4.1.3

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 5}{4} + 5$

단계 5.4.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{- 5 \cdot x^{2}}{4} + 5$

단계 5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x^{2}}{4} + 5$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 d x$

단계 5.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{5 x^{2}}{4} d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

단계 5.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{5 x^{2}}{4} d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

단계 5.7

$\frac{5}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{5}{4} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

단계 5.8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{5}{4} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

단계 5.9

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{5}{4} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 5 x]_{- 2}^{2}$

단계 5.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{5}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 x]_{- 2}^{2}$

단계 5.10.2

$2$ , $- 2$ 일 때, $5 x$ 값을 계산합니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.4

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.5

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.7

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.8

$\frac{16}{3}$ 에 $\frac{5}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 4} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.9

$16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{3 \cdot 4} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.10

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{80}{12} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.11

$80$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.11.1

$80$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 (20)}{12} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.11.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{20}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.12

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{20}{3} + 10 - 5 \cdot - 2$

단계 5.10.3.13

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{20}{3} + 10 + 10$

단계 5.10.3.14

$10$ 를 $10$ 에 더합니다.

$- \frac{20}{3} + 20$

단계 5.10.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $20$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{20}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.10.3.16

$20$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3}$

단계 5.10.3.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 20 + 20 \cdot 3}{3}$

단계 5.10.3.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.18.1

$20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20 + 60}{3}$

단계 5.10.3.18.2

$- 20$ 를 $60$ 에 더합니다.

$\frac{40}{3}$

단계 6