미적분 예제

$r = 1 - \sin (θ)$ , $r = 2 + \sin (θ)$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$ 을 $θ$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

$\sin (θ)$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $\sin (θ)$ 를 뺍니다.

$1 - \sin (θ) - \sin (θ) = 2$

단계 1.2.1.2

$- \sin (θ)$ 에서 $\sin (θ)$ 을 뺍니다.

$1 - 2 \sin (θ) = 2$

단계 1.2.2

$\sin (θ)$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 \sin (θ) = 2 - 1$

단계 1.2.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 2 \sin (θ) = 1$

단계 1.2.3

$- 2 \sin (θ) = 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 2 \sin (θ) = 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$\sin (θ)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

단계 1.2.4

사인 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

단계 1.2.5

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$θ = - \frac{π}{6}$

단계 1.2.6

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 1.2.7

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.7.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 1.2.7.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$θ = \frac{7 π}{6}$

단계 1.2.8

$\sin (θ)$ 주기를 구합니다.

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단계 1.2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 1.2.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 1.2.8.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 1.2.9

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 1.2.9.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.3

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.9.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.9.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

단계 1.2.9.5

새 각을 나열합니다.

$θ = \frac{11 π}{6}$

단계 1.2.10

함수 $\sin (θ)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 1.3

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 이면 $r$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$θ$ 에 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 를 대입합니다.

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

단계 1.3.2

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$ 에서 $θ$ 에 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 을 대입하고 $r$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

단계 1.3.2.2

$\frac{7 π}{6}$ 와 $2 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6})$

단계 1.4

$θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 이면 $r$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$θ$ 에 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 를 대입합니다.

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

단계 1.4.2

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$ 에서 $θ$ 에 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 을 대입하고 $r$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

단계 1.4.2.2

$\frac{11 π}{6}$ 와 $2 π n$ 을 다시 정렬합니다.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6})$

단계 1.5

연립방정식의 해는 방정식을 참으로 만드는 모든 값입니다.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 1.6

모든 해를 나열합니다.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 2

주어진 두 곡선 사이의 넓이는 무한합니다.

무한한 넓이

단계 3