미적분 예제

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $9$ 를 대입합니다.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4

$9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

지수를 더하여 $9$ 에 ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.1

$9$ 에 ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.1.1

$9$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.1.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.1.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.5

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.6

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 1.2.4.1.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 1.2.4.1.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.8.1

공약수로 약분합니다.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 1.2.4.1.8.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 27 + 3^{3}$

단계 1.2.4.1.9

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 27 + 27$

단계 1.2.4.2

$27$ 를 $27$ 에 더합니다.

$y = 54$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 9$ , $y = 54$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.9

$9$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

단계 2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

단계 2.3.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.4.2

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.5

$x = 9$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.1.2

${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.6.1.3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.4

지수를 더하여 $9$ 에 $9^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.4.1

$9$ 에 $9^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.4.1.1

$9$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.4.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.6.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

단계 2.6.1.5.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

단계 2.6.1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

단계 2.6.1.5.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

단계 2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 + 3}{2}$

단계 2.6.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{12}{2}$

단계 2.6.2.2.2

$12$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$6$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $6$ 과 주어진 점 $(9, 54)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$6 \cdot (x - 9)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

단계 3.3.1.4

$6$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$y - 54 = 6 x - 54$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $54$ 를 더합니다.

$y = 6 x - 54 + 54$

단계 3.3.2.2

$6 x - 54 + 54$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$- 54$ 를 $54$ 에 더합니다.

$y = 6 x + 0$

단계 3.3.2.2.2

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 6 x$

단계 4