미적분 예제

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

단계 1.2

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

양변에서 값을 빼서 $\frac{e^{- x}}{2}$ 을(를) 식의 우변으로 옮깁니다.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

단계 1.2.2

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$e^{x} = - e^{- x}$

단계 1.2.3

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

해 없음

단계 2

$\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

단계 4

$0$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

단계 4.2

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

단계 4.4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

단계 4.5

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

단계 4.6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

단계 4.7

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.7.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.7.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.7.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.7.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.7.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.7.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

단계 4.7.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 4.7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

단계 4.7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

단계 4.8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

단계 4.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

단계 4.10

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{u}]_{0}^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

단계 4.11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$2$ , $0$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

단계 4.11.2

$- 2$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

단계 4.11.3

간단히 합니다.

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단계 4.11.3.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

단계 4.11.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

단계 4.11.3.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

단계 4.11.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

단계 4.11.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

단계 4.11.3.6

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

단계 4.11.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

단계 4.11.3.8

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

단계 4.11.3.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

단계 4.11.3.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

단계 4.11.3.10

$e^{2} - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

단계 5

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ 영역을 더합니다.

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단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

단계 5.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

단계 5.1.4

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

단계 5.1.5

$e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

단계 5.1.6

인수분해된 형태로 $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ 를 다시 씁니다.

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단계 5.1.6.1

$\frac{1}{e^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{e})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

단계 5.1.6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = \frac{1}{e}$ 입니다.

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $e$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.9

$e e$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.9.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.9.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.9.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.9.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.10

공통 분모를 가지는 분수로 $e$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

단계 5.1.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

단계 5.1.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.12.1

$e e$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.12.1.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

단계 5.1.12.1.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

단계 5.1.12.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

단계 5.1.12.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

단계 5.1.12.2

인수분해된 형태로 $e^{2} - 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.12.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

단계 5.1.12.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

단계 5.2

$\frac{e^{2} + 1}{e}$ 에 $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

단계 5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

단계 5.3.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

단계 5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

단계 5.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

단계 5.5

조합합니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

단계 5.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$e^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

단계 5.6.2

$e^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

단계 6