미적분 예제

$y^{2} + 2 y = 9 x^{2} + 8$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

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단계 1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $9 x^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} + 2 y - 9 x^{2} = 8$

단계 1.1.2

$2 y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} - 9 x^{2} + 2 y = 8$

단계 1.1.3

$y^{2}$ 와 $- 9 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$

단계 1.2

$y^{2} + 2 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 1.2.4.2.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.4.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 1.2.4.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 1$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = - 1$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 에 대입합니다.

${(y + 1)}^{2} - 1$

단계 1.3

$y^{2} + 2 y$ 를 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 로 바꿔 방정식 $- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$ 에 대입합니다.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 8$

단계 1.4

양변에 $1$ 을 더하여 $- 1$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8 + 1$

단계 1.5

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

단계 1.6

각 항을 $9$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$- \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

단계 1.7

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = 0$

단계 4

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

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단계 4.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 4.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

단계 4.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{9 + 1}$

단계 4.3.3

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{10}$

단계 5

초점을 찾습니다.

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단계 5.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 5.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 1 + \sqrt{10})$

단계 5.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 5.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(0, - 1 - \sqrt{10})$

단계 5.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(0, - 1 + \sqrt{10}), (0, - 1 - \sqrt{10})$

단계 6