미적분 예제

$x^{2} + 9 y^{2} = 81$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$9 y^{2} = 81 - x^{2}$

단계 1.2

$9 y^{2} = 81 - x^{2}$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$9 y^{2} = 81 - x^{2}$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{81}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

단계 1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{81}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

단계 1.2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{81}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

단계 1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$81$ 을 $9$ 로 나눕니다.

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{9}$

단계 1.2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{9}$

단계 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{9}}$

단계 1.4

$\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

단계 1.4.1.2

$\frac{x^{2}}{9}$ 을 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

단계 1.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = \frac{x}{3}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{3}) (3 - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (3 - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.4

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{x}{3}) (3 - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 3 + x}{3} (3 - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 + x}{3} (3 - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 + x}{3} (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.8

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 + x}{3} (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{x}{3})}$

단계 1.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 + x}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3 - x}{3}}$

단계 1.4.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 + x}{3} \cdot \frac{9 - x}{3}}$

단계 1.4.11

$\frac{9 + x}{3}$ 에 $\frac{9 - x}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{3 \cdot 3}}$

단계 1.4.12

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{9}}$

단계 1.4.13

$\frac{(9 + x) (9 - x)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((9 + x) (9 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.13.1

$(9 + x) (9 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9}}$

단계 1.4.13.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 1.4.13.3

분수 $\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((9 + x) (9 - x))}$

단계 1.4.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(9 + x) (9 - x)}$

단계 1.4.15

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{(9 + x) (9 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

단계 1.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

단계 1.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

단계 1.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 81$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (81)$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 y^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 9 (2 y y')$

단계 3.2.2.4

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$2 x + 18 y y'$

단계 3.2.3

항을 다시 정렬합니다.

$18 y y' + 2 x$

단계 3.3

$81$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $81$ 입니다.

$0$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$18 y y' + 2 x = 0$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$18 y y' = - 2 x$

단계 3.5.2

$18 y y' = - 2 x$ 의 각 항을 $18 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$18 y y' = - 2 x$ 의 각 항을 $18 y$ 로 나눕니다.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

단계 3.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

단계 3.5.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

단계 3.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1

$- 2$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

단계 3.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1.2.1

$18 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

단계 3.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

단계 3.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

단계 3.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

단계 4

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{(9 + 0) (9 - (0))}}{3}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{(9 + 0) (9 - (0))}}{3}$

단계 5.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{9 (9 - (0))}}{3}$

단계 5.2.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{9 (9 + 0)}}{3}$

단계 5.2.2.3

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{9 \cdot 9}}{3}$

단계 5.2.2.4

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{81}}{3}$

단계 5.2.2.5

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = \frac{\sqrt{9^{2}}}{3}$

단계 5.2.2.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = \frac{9}{3}$

단계 5.2.3

$9$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f (0) = 3$

단계 5.2.4

최종 답은 $3$ 입니다.

$3$

단계 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(9 + 0) (9 - (0))}}{3}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(9 + 0) (9 - (0))}}{3}$

단계 6.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{9 (9 - (0))}}{3}$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{9 (9 + 0)}}{3}$

단계 6.2.2.3

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{9 \cdot 9}}{3}$

단계 6.2.2.4

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{81}}{3}$

단계 6.2.2.5

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = - \frac{\sqrt{9^{2}}}{3}$

단계 6.2.2.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = - \frac{9}{3}$

단계 6.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$9$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f (0) = - 1 \cdot 3$

단계 6.2.3.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (0) = - 3$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

단계 8