미적분 예제

$y = | x^{2} - 16 |$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

단계 2

도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x^{2} - 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

단계 2.1.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

단계 2.2.3

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

단계 2.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

단계 2.2.4.2

$2$ 와 $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

단계 2.2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.3.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.3.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 2.3.3.2

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.2.1.1

$2 x^{3} - 32 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.1.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

단계 3.2.1.1.2

$- 32 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

단계 3.2.1.1.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

단계 3.2.1.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

단계 3.2.1.3

인수분해합니다.

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단계 3.2.1.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 3.2.1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

단계 3.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 3.2.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.2.4

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.2.4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.2.4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 3.2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 3.2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 3.2.6

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4, 4$

단계 3.3

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 0$

단계 4

원래 함수 $f (x) = | x^{2} - 16 |$ 을 $x = 0$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = | {(0)}^{2} - 16 |$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = | 0 - 16 |$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$f (0) = | - 16 |$

단계 4.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 16$ 과 $0$ 사이의 거리는 $16$ 입니다.

$f (0) = 16$

단계 4.2.4

최종 답은 $16$ 입니다.

$16$

단계 5

함수 $f (x) = | x^{2} - 16 |$ 의 수평 접선은 $y = 16$ 입니다.

$y = 16$

단계 6