미적분 예제

$\sin (2 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{2})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = \frac{π}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 1.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (2 y) (2 y')$

단계 1.2.4

$\cos (2 y) (2 y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \cos (2 y) y'$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 \cos (2 y) y' = 1$

단계 1.5

$2 \cos (2 y) y' = 1$ 의 각 항을 $2 \cos (2 y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2 \cos (2 y) y' = 1$ 의 각 항을 $2 \cos (2 y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (2 y) y'}{2 \cos (2 y)} = \frac{1}{2 \cos (2 y)}$

단계 1.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (2 y) y'}{2 \cos (2 y)} = \frac{1}{2 \cos (2 y)}$

단계 1.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (2 y) y'}{\cos (2 y)} = \frac{1}{2 \cos (2 y)}$

단계 1.5.2.2

$\cos (2 y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (2 y) y'}{\cos (2 y)} = \frac{1}{2 \cos (2 y)}$

단계 1.5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{2 \cos (2 y)}$

단계 1.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

분수를 나눕니다.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 y)}$

단계 1.5.3.2

$\frac{1}{\cos (2 y)}$ 을 $\sec (2 y)$ 로 변환합니다.

$y' = \frac{1}{2} \sec (2 y)$

단계 1.5.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sec (2 y)$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\sec (2 y)}{2}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (2 y)}{2}$

단계 1.7

$y = \frac{π}{2}$ 와 $x = 0$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$\frac{\sec (2 y)}{2}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$\frac{\sec (2 (\frac{π}{2}))}{2}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec (2 \frac{π}{2})}{2}$

단계 1.7.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec (π)}{2}$

단계 1.7.3.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- \sec (0)}{2}$

단계 1.7.3.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

단계 1.7.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{2}$

단계 1.7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- \frac{1}{2}$ 과 주어진 점 $(0, \frac{π}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{π}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - \frac{π}{2} = - \frac{1}{2} \cdot x$

단계 2.3.1.2

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y - \frac{π}{2} = - \frac{x}{2}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\frac{π}{2}$ 를 더합니다.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{π}{2}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{π}{2}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{π}{2}$

단계 3