미적분 예제

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, \frac{π}{2}]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

단계 5

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 5.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 5.2

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 5.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.4

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 5.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$1$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

간단히 합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

단계 7.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

단계 7.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

단계 8

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

단계 8.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

단계 9

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

단계 10

$\frac{2}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

단계 11

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

단계 12

$\frac{2}{π}$ 와 $e$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

단계 13

$\frac{2}{π} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{2}{π}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

단계 13.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

단계 15