미적분 예제

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

단계 1

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}} d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

단계 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 5.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 5.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 5.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1 - 1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.6

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.6.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 (0)}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.6.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{0} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.7

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \int 7 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.8

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.10

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.11

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.13.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.13.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.14

$7$ 와 $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} + 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 6.15

$7$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} + 7 d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int - 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

단계 8

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (- 3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

단계 10

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x)$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$