미적분 예제

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

단계 1

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 4.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 7

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.4

$\frac{x^{3}}{3}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.5

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.2.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 8.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

단계 12

$- \frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 14.2

간단히 합니다.

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단계 14.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

단계 14.2.2

$\frac{x^{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

단계 14.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

단계 14.2.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

단계 14.2.5

$3$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.2.5.1

$3 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

단계 14.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.2.5.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

단계 14.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

단계 14.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.7

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.9

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.10

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.2.10.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.2.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 14.2.10.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$