미적분 예제

$y = x^{3}$ , $y = x$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x$ 일 때 $V = π \int_{- 1}^{0} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = x^{3 \cdot 2} - {(x)}^{2}$

단계 2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = x^{6} - {(x)}^{2}$

$V = x^{6} - x^{2}$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{- 1}^{0} x^{6} d x + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} x^{7}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{1}{7} x^{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

단계 5

$\frac{1}{7}$ 와 $x^{7}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x^{2} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}))$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$0$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{7}}{7}$ 값을 계산합니다.

$V = π ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

단계 8.2.2

$0$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{0^{7}}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3

간단히 합니다.

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단계 8.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{0}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.2

$0$ 및 $7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.3.2.1

$0$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{7 (0)}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.2.1

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (0 - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.3

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$V = π (0 - \frac{- 1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (0 + 1 (\frac{1}{7}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.6

$\frac{1}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.7

$0$ 를 $\frac{1}{7}$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.9

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.9.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.9.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

단계 8.2.3.10

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{- 1}{3}))$

단계 8.2.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

단계 8.2.3.12

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + 1 (\frac{1}{3})))$

단계 8.2.3.13

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

단계 8.2.3.14

$0$ 를 $\frac{1}{3}$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{1}{7} - \frac{1}{3})$

단계 8.2.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

단계 8.2.3.16

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

단계 8.2.3.17

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $21$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.17.1

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{7 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

단계 8.2.3.17.2

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

단계 8.2.3.17.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{3 \cdot 7})$

단계 8.2.3.17.4

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{21})$

단계 8.2.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{3 - 7}{21})$

단계 8.2.3.19

$3$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{- 4}{21})$

단계 8.2.3.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (- \frac{4}{21})$

단계 8.2.3.21

$π$ 와 $\frac{4}{21}$ 을 묶습니다.

$V = - \frac{π \cdot 4}{21}$

단계 8.2.3.22

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$V = - \frac{4 π}{21}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = - \frac{4 π}{21}$

소수 형태:

$V = - 0.59839860 \dots$

단계 10