미적분 예제

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 2$ , $x = 3$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - \frac{x}{2} + 4$ 일 때 $V = π \int_{2}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ 을 $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.2

$\frac{x}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{x}{2}$ 에 $\frac{x}{2}$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.1.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$- \frac{x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.2.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

$- \frac{x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.6

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

단계 2.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{2}^{3} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 6.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}}{4} + \int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 7

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}}{4} - 4 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 16 d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 16 x]_{2}^{3})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$3$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{(\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 16 x]_{2}^{3})$

단계 11.2

$3$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{(\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 x]_{2}^{3})$

단계 11.3

$3$ , $2$ 일 때, $16 x$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{(\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{9 - \frac{2^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (\frac{9 - \frac{8}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.5

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.7.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{\frac{27 - 8}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.7.2

$27$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{\frac{19}{3}}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.8

$\frac{\frac{19}{3}}{4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$V = π (\frac{19}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.9

$\frac{19}{3}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.10

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.12

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.13

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.13.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.13.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.13.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.14

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - 2) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.16

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.18.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 \frac{9 - 4}{2} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.18.2

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 4 (\frac{5}{2}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.19

$- 4$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{- 4 \cdot 5}{2} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.20

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{- 20}{2} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.21

$- 20$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.21.1

$- 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{2 \cdot - 10}{2} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.21.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.21.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{- 10}{1} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.21.2.4

$- 10$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 10 + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.22

공통 분모를 가지는 분수로 $- 10$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19}{12} - 10 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.23

$- 10$ 와 $\frac{12}{12}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{19}{12} + \frac{- 10 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{19 - 10 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.25

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.25.1

$- 10$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{19 - 120}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.25.2

$19$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{- 101}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.26

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.27

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + 48 - 16 \cdot 2)$

단계 11.4.28

$- 16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + 48 - 32)$

단계 11.4.29

$48$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + 16)$

단계 11.4.30

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

단계 11.4.31

$16$ 와 $\frac{12}{12}$ 을 묶습니다.

$V = π (- \frac{101}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

단계 11.4.32

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{- 101 + 16 \cdot 12}{12})$

단계 11.4.33

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.33.1

$16$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{- 101 + 192}{12})$

단계 11.4.33.2

$- 101$ 를 $192$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{91}{12})$

단계 11.4.34

$π$ 와 $\frac{91}{12}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 91}{12}$

단계 11.4.35

$π$ 의 왼쪽으로 $91$ 이동하기

$V = \frac{91 π}{12}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{91 π}{12}$

소수 형태:

$V = 23.82374428 \dots$

단계 13