미적분 예제

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = x + 1$ 일 때 $V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (x + 1) (x + 1)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} + x + x + 1$

단계 2.3.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$V = x^{2} + 2 x + 1$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ 와 $x]_{0}^{7}$ 을 묶습니다.

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$7$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

단계 10.2.2

$7$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3} + x$ 값을 계산합니다.

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.3

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.3.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.5

$\frac{49}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.6

$2$ 와 $\frac{49}{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.7

$2$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.8

$98$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.8.1

$98$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.8.2.4

$49$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.9

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.10

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.11

$7$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.13.1

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.13.2

$343$ 를 $21$ 에 더합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

단계 10.2.3.14

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

단계 10.2.3.15

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.15.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

단계 10.2.3.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

단계 10.2.3.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

단계 10.2.3.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

단계 10.2.3.15.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

단계 10.2.3.16

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

단계 10.2.3.17

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

단계 10.2.3.18

$\frac{364}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

단계 10.2.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $49$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

단계 10.2.3.20

$49$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

단계 10.2.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

단계 10.2.3.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.22.1

$49$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

단계 10.2.3.22.2

$147$ 를 $364$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{511}{3})$

단계 10.2.3.23

$π$ 와 $\frac{511}{3}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

단계 10.2.3.24

$π$ 의 왼쪽으로 $511$ 이동하기

$V = \frac{511 π}{3}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{511 π}{3}$

소수 형태:

$V = 535.11794866 \dots$

단계 12