미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

단계 1.3

$x$ 이(가) 근에 대해 $- \infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

단계 3.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ 을(를) ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 3.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $16 x^{2} - 9 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.6.3

$u$ 를 모두 $16 x^{2} - 9 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

단계 3.14

합의 법칙에 의해 $16 x^{2} - 9 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

단계 3.15

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

단계 3.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

단계 3.17

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

단계 3.18

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.19

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

단계 3.20

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

단계 3.21

간단히 합니다.

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단계 3.21.1

$\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 3.21.2

$32 x - 9$ 에 $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

단계 5

${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

단계 6

인수끼리 묶습니다.

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단계 6.1

$3$ 와 $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

단계 6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

단계 7.2

$16 x^{2} - 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.2.1

$16 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

단계 7.2.2

$- 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

단계 7.2.3

$x (16 x) + x \cdot - 9$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

단계 8

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

단계 9

각 항을 간단히 합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

단계 11

극한값을 계산합니다.

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단계 11.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 11.2

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 11.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 12

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13

극한값을 계산합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.1.1.2

$16$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.2.2

수식을 다시 씁니다.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.4

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.5

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 13.6

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 14

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 15

극한값을 계산합니다.

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단계 15.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

단계 15.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

단계 15.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $32$ 의 극한을 구합니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

단계 15.4

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

단계 16

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17

답을 간단히 합니다.

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단계 17.1

$16 - 9 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.2.1

$- 9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17.2.2

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17.2.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17.2.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

단계 17.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 17.3.1

$- 9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

단계 17.3.2

$32$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

단계 17.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{- 4}{32})$

단계 17.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.5.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

단계 17.5.2

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

단계 17.5.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

단계 17.5.4

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{- 4}{16})$

단계 17.6

$3$ 와 $\frac{- 4}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

단계 17.7

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{16}$

단계 17.8

$- 12$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 17.8.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 3)}{16}$

단계 17.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.8.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

단계 17.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

단계 17.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{4}$

단계 17.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4}$