미적분 예제

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1.1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.1.2

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.1.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{9 - 3^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.3.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.2.3.2

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 3} \frac{π}{2} x)}$

단계 1.3.1.2

$\frac{π}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$\frac{π}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{0}{\cos (\frac{π \cdot 3}{2})}$

단계 1.3.3.2

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{0}{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}$

단계 1.3.3.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

단계 1.3.3.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $9 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.5

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

단계 3.6

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{π}{2} x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{π}{2} x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

단계 3.6.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

단계 3.6.3

$u$ 를 모두 $\frac{π}{2} x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

단계 3.7

$\frac{π}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

단계 3.8

$\frac{π}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]}$

단계 3.9

$\frac{π}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{π x}{2}$ 의 미분은 $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.10

$\frac{π}{2}$ 와 $\sin (\frac{π x}{2})$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1}$

단계 3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 3} - 2 x (- \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})})$

단계 5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} 2 x \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

단계 5.2

$2$ 와 $\frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 3} x \frac{2 \cdot 2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

단계 5.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} x \frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

단계 5.4

$x$ 와 $\frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{x \cdot 4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

단계 6

$\frac{4}{π}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{π} lim_{x \to 3} \frac{x}{\sin (\frac{π x}{2})}$

단계 7

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})}$

단계 8

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})}$

단계 9

$\frac{π}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

단계 10

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 10.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

단계 10.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

단계 11

답을 간단히 합니다.

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단계 11.1

분수를 나눕니다.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)})$

단계 11.2

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$ 을 $\csc (\frac{π}{2} \cdot 3)$ 로 변환합니다.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

단계 11.3

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

단계 11.4

$\frac{π}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π \cdot 3}{2}))$

단계 11.5

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{3 \cdot π}{2}))$

단계 11.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{4}{π} (3 (- \csc (\frac{π}{2})))$

단계 11.7

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{4}{π} (3 (- 1 \cdot 1))$

단계 11.8

$3 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 11.8.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (3 \cdot - 1)$

단계 11.8.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} \cdot - 3$

단계 11.9

$\frac{4}{π} \cdot - 3$ 을 곱합니다.

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단계 11.9.1

$\frac{4}{π}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot - 3}{π}$

단계 11.9.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{π}$

단계 11.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12}{π}$