미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

단계 1.2

지수 $3 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

단계 1.3

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.7

$3$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 3.8

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

단계 5.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

단계 6

지수 $3 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

단계 7.2

답을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

0이 아닌 상수 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$\infty \cdot \infty$

단계 7.2.2

무한대 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$\infty$