미적분 예제

$f (x) = 6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{5}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.5.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.5.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3 + 2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.7

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.8

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{5}{6}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ 입니다.

$30 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.9

$n = \frac{5}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.11

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.13.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.13.2

$5$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.15

$\frac{5}{6}$ 와 $x^{- \frac{1}{6}}$ 을 묶습니다.

$30 x^{4} + 4 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.16

$4$ 와 $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ 을 묶습니다.

$30 x^{4} + \frac{4 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.17

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{20 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$30 x^{4} + \frac{20}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.19

$20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.20

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.20.1

$6 x^{\frac{1}{6}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.20.2

공약수로 약분합니다.

$30 x^{4} + \frac{2 \cdot 10}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.3.20.3

수식을 다시 씁니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 e^{\frac{x}{2}}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 입니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.6

$e^{\frac{x}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.7

$- 10$ 와 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 10 e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.8

$- 10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.8.1

$- 10 e^{\frac{x}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.4.8.2.4

$- 5 e^{\frac{x}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

단계 1.5

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x} \ln (3)$

단계 1.6

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x^{4}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.2.3

$4$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$\ln (3)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{x} \ln (3)$ 의 미분은 $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 입니다.

$120 x^{3} + \ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} + \ln (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3.3

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3.4

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 x^{3} + 3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{10}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ 의 미분은 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}]$ 입니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{6}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{6}}$ 로 바꿉니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{6}}$ 로 바꿉니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.4

$n = \frac{1}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5

${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.7

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.9.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.9.2

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{- 5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{- \frac{5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.11

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{- \frac{5}{6}}$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.12

$\frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6}} x^{- \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{5}{6}}$ 에 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.13.3.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.5

$- 5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.13.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{7}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.15

$\frac{10}{3}$ 에 $\frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{3 (6 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.16

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.17

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.18

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.18.1

$18 x^{\frac{7}{6}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.18.2

공약수로 약분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 \cdot 5}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.4.18.3

수식을 다시 씁니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 e^{\frac{x}{2}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 입니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

단계 2.5.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.5.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.5.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 2.5.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

단계 2.5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

단계 2.5.6

$e^{\frac{x}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 2.5.7

$- 5$ 와 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 2.5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $120 x^{3}$ 의 미분은 $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$120 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.2.3

$3$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\ln^{2} (3)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{x} \ln^{2} (3)$ 의 미분은 $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 입니다.

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3.3

지수를 더하여 $\ln^{2} (3)$ 에 $\ln (3)$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.3.1

$\ln (3)$ 를 옮깁니다.

$360 x^{2} + \ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3.3.2

$\ln (3)$ 에 $\ln^{2} (3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$360 x^{2} + \ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$360 x^{2} + {\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- \frac{5}{9}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$ 의 미분은 $- \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}]$ 입니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ 을 ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{7}{6}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{7}{6}}$ 로 바꿉니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{7}{6}}$ 로 바꿉니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.4

$n = \frac{7}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5

${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{6} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 1} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.3

$\frac{7}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.4

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{- 7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.7

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.9.2

$7$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.10

$\frac{7}{6}$ 와 $x^{\frac{1}{6}}$ 을 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} \frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.11

$\frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}$ 와 $x^{- \frac{7}{3}}$ 을 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{7}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{6}}$ 에 $x^{- \frac{7}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$x^{- \frac{7}{3}}$ 를 옮깁니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{7}{3}} x^{\frac{1}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{7}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.4.1

$\frac{7}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.6.1

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.6.2

$- 14$ 를 $1$ 에 더합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.12.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{13}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.14

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + 1 (\frac{5}{9}) \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.15

$\frac{5}{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.16

$\frac{5}{9}$ 에 $\frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5 \cdot 7}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.17

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.4.18

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 입니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

단계 3.5.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.5.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.5.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.5.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

단계 3.5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

단계 3.5.6

$e^{\frac{x}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 3.5.7

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 3.5.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{4}$

단계 3.5.9

$e^{\frac{x}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [360 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$360$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $360 x^{2}$ 의 미분은 $360 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$360 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$360 (2 x) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.2.3

$2$ 에 $360$ 을 곱합니다.

$720 x + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\ln^{3} (3)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{x} \ln^{3} (3)$ 의 미분은 $\ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 입니다.

$720 x + \ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$720 x + \ln^{3} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3.3

지수를 더하여 $\ln^{3} (3)$ 에 $\ln (3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\ln (3)$ 를 옮깁니다.

$720 x + \ln (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3.3.2

$\ln (3)$ 에 $\ln^{3} (3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$720 x + \ln^{1} (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$720 x + {\ln (3)}^{1 + 3} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.3.3.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$\frac{35}{54}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}$ 의 미분은 $\frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}]$ 입니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.2

$\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}$ 을 ${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{13}{6}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{13}{6}}$ 로 바꿉니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{13}{6}}$ 로 바꿉니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.4

$n = \frac{13}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5

${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{6} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.5.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{3} \cdot - 1} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.3

$\frac{13}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13 \cdot - 1}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.4

$13$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{- 13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.7

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.9.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.9.2

$13$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{7}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.10

$\frac{13}{6}$ 와 $x^{\frac{7}{6}}$ 을 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} \frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.11

$\frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}$ 와 $x^{- \frac{13}{3}}$ 을 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{7}{6}} x^{- \frac{13}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12

지수를 더하여 $x^{\frac{7}{6}}$ 에 $x^{- \frac{13}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.12.1

$x^{- \frac{13}{3}}$ 를 옮깁니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 (x^{- \frac{13}{3}} x^{\frac{7}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{13}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.12.4.1

$\frac{13}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{6} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 13 \cdot 2 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.12.6.1

$- 13$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 26 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.6.2

$- 26$ 를 $7$ 에 더합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.12.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{19}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.14

$\frac{35}{54}$ 에 $\frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{35 \cdot 13}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.15

$35$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.4.16

$6$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

단계 4.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.5.1

$- \frac{5}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ 의 미분은 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 입니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

단계 4.5.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 4.5.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 4.5.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 4.5.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

단계 4.5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

단계 4.5.6

$e^{\frac{x}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 4.5.7

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 에 $\frac{5}{4}$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 4}$

단계 4.5.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{8}$

단계 4.5.9

$e^{\frac{x}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$ 입니다.

$3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$