미적분 예제

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 3 x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{\sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.3.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 1.3.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 1.3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 1.3.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 1.3.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 1.3.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 1.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 1.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 1.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 1.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 1.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 1.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 1.3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 1.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 1.3.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 1.3.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

단계 1.3.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

단계 1.3.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

단계 1.3.14.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 1.3.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 1.3.14.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.14.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

단계 1.3.14.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

단계 1.3.14.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 1.3.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 x^{3} + 6 x - 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

단계 1.3.16

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.3.17

$2$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$4 x^{3} + 6 x + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.3.18

공약수로 약분합니다.

$4 x^{3} + 6 x + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.3.19

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 6 x + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 2.4.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.4.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 6 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.4.2.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$12 x^{2} + 6 - {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.4.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} + 6 - {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.4

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.4.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.4.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.4.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 2.4.8.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.4.9

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.4.10

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}$

단계 2.4.11

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.11.1

$x^{- 3}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 2.4.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.4

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.11.6.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.6.2

$- 6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}$

단계 2.4.11.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$12 x^{2} + 6 - \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}$

단계 2.4.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 - \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} + 6 - \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.3

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 입니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 3.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 3.4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 3.4.4

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.5

${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.5.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

단계 3.4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 3.4.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 3.4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 3.4.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

단계 3.4.9.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

단계 3.4.10

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

단계 3.4.11

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

단계 3.4.12

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- 5}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.12.1

$x^{- 5}$ 를 옮깁니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

단계 3.4.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.4

$- 5$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.12.6.1

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.6.2

$- 10$ 를 $3$ 에 더합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

단계 3.4.12.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

단계 3.4.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{7}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$24 x + 0 - \frac{3}{2} (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

단계 3.4.14

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 + 1 (\frac{3}{2}) \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 3.4.15

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 + \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 3.4.16

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 + \frac{3 \cdot 5}{2 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

단계 3.4.17

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 + \frac{15}{2 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

단계 3.4.18

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 + \frac{15}{4 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 3.5

$24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24 x + \frac{15}{4 x^{\frac{7}{2}}}$

단계 4

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 3차 도함수는 $24 x + \frac{15}{4 x^{\frac{7}{2}}}$ 입니다.

$24 x + \frac{15}{4 x^{\frac{7}{2}}}$