미적분 예제

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.3.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

단계 1.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

단계 1.3.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 {(x + 2)}^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.2.8

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \sin (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

${(x + 2)}^{2}$ 을 $(x + 2) (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

단계 3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

단계 3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

단계 3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

단계 3.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

단계 3.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

단계 3.3.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.5.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.6

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.5.8

$2 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

단계 3.6

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \cos (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.6.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

단계 3.6.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

단계 3.7.2

항을 묶습니다.

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단계 3.7.2.1

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

단계 3.7.2.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$