미적분 예제

$y = {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ , $g (x) = x^{9} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{9} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.1.2

$n = \frac{5}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{9} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.3

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.5.2

$5$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.6

분수를 통분합니다.

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단계 1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.6.2

$\frac{5}{6}$ 와 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

단계 1.7

합의 법칙에 의해 $x^{9} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.8

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(9 x^{8} + 1) \frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

단계 1.10.2

$9 x^{8} + 1$ 에 $\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(9 x^{8} + 1) \cdot 5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

단계 1.10.3

$9 x^{8} + 1$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{5}{6}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ 의 미분은 $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$ 입니다.

$\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$

단계 2.2

$f (x) = 9 x^{8} + 1$ , $g (x) = {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

${({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $9 x^{8} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.3

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{8}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 입니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.4

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.5

$8$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + 0) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$72 x^{7}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7}) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.3.7.2

${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 의 왼쪽으로 $72$ 이동하기

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 \cdot {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ , $g (x) = x^{9} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{9} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.4.2

$n = \frac{1}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{9} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.6

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.8.2

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.9

분수를 통분합니다.

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단계 2.9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.9.2

$\frac{1}{6}$ 와 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{{(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $x^{9} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.11

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + 1))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.13

$9 x^{8} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} (9 x^{8} + 1)) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.14

$9 x^{8} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} {(9 x^{8} + 1)}^{1}) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{1 + 1} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.17

$\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 와 ${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.18

공통 분모를 가지는 분수로 $72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} \cdot \frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.19

$72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ 와 $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}) - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.21

$6$ 에 $72$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.22

지수를 더하여 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 에 ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.22.1

${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 ({(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.22.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.22.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5 + 1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.22.4

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{6}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.22.5

$6$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.23

$432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.24

$\frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{5}{6} (\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}})$

단계 2.25

$\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 에 $\frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.26

지수를 더하여 ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 에 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.26.1

${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 ({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}$

단계 2.26.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

단계 2.26.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

단계 2.26.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.26.4.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

단계 2.26.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

단계 2.26.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

단계 2.26.6

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.27

$\frac{5}{6}$ 에 $\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{6 (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}})}$

단계 2.28

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 ((432 x^{9} + 432 x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7} + 432 x \cdot x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.1

지수를 더하여 $x^{9}$ 에 $x^{7}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.1.1

$x^{7}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 (432 (x^{7} x^{9})) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5 (432 x^{7 + 9}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.1.3

$7$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{5 (432 x^{16}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.2

$432$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{7}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.3.1

$x^{7}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x)) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.3.2

$x^{7}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x^{1})) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{7 + 1}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.3.3

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{8}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.4

$432$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.5

${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ 을 $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- ((9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8} + 1) + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.7.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8} x^{8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.2

지수를 더하여 $x^{8}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.7.1.2.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 (x^{8} x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8 + 8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.2.3

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.3

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.5

$9 x^{8}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.7.2

$9 x^{8}$ 를 $9 x^{8}$ 에 더합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 18 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16}) - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.9.1

$81$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.9.2

$18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.9.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.10

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16}) + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.4.1.11.1

$- 81$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.11.2

$- 18$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.1.11.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.2

$2160 x^{16}$ 에서 $405 x^{16}$ 을 뺍니다.

$\frac{1755 x^{16} + 2160 x^{8} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.4.3

$2160 x^{8}$ 에서 $90 x^{8}$ 을 뺍니다.

$\frac{1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.5

$1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.29.5.1

$1755 x^{16}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (351 x^{16}) + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.5.2

$2070 x^{8}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.5.3

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.5.4

$5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8})$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 2.29.5.5

$5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$