미적분 예제

$y = (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ , $g (x) = e^{4 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.3.3.2

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot ((3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

단계 1.3.4

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.6

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.7

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.11

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + 0)$

단계 1.3.12

$12 x^{3} + 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 (3 x^{4}) + 4 (2 x^{2}) + 4 \cdot 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

단계 1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

단계 1.4.4

항을 묶습니다.

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단계 1.4.4.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{4} e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

단계 1.4.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

단계 1.4.4.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

단계 1.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 e^{4 x} x^{4}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.2

$f (x) = e^{4 x}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{4}] + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.4.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.2.8

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 e^{4 x} x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{4 x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.3.8

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 e^{4 x} x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.2

$f (x) = e^{4 x}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.4.3

$u_{3}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.4.8

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{4 x} x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.2

$f (x) = e^{4 x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 은 $a^{u_{4}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.4.3

$u_{4}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.7

$e^{4 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.5.9

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

단계 2.6

$\frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 e^{4 x}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

단계 2.6.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{5}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (\frac{d}{d u_{5}} [e^{u_{5}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.6.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{5}} [a^{u_{5}}]$ 은 $a^{u_{5}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{u_{5}} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.6.2.3

$u_{5}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.6.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

단계 2.6.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \cdot 4)$

단계 2.6.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (4 \cdot e^{4 x})$

단계 2.6.7

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5

항을 묶습니다.

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단계 2.7.5.1

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$48 (e^{4 x} (x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.2

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 (x^{4} (e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 (e^{4 x} (x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.4

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 (x^{2} (e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.5

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 (e^{4 x} (x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.6

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x} x^{2} + 48 (x^{3} (e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.7

$32 x^{2} e^{4 x}$ 를 $36 e^{4 x} x^{2}$ 에 더합니다.

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단계 2.7.5.7.1

$e^{4 x}$ 를 옮깁니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.7.2

$32 x^{2} e^{4 x}$ 를 $36 x^{2} e^{4 x}$ 에 더합니다.

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.8

$48 e^{4 x} x^{3}$ 를 $48 x^{3} e^{4 x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.5.8.1

$e^{4 x}$ 를 옮깁니다.

$48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.8.2

$48 x^{3} e^{4 x}$ 를 $48 x^{3} e^{4 x}$ 에 더합니다.

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.9

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 16 (x (e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.10

$16 e^{4 x} x$ 를 $16 x e^{4 x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.5.10.1

$e^{4 x}$ 를 옮깁니다.

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.10.2

$16 x e^{4 x}$ 를 $16 x e^{4 x}$ 에 더합니다.

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

단계 2.7.5.11

$4 e^{4 x}$ 를 $32 e^{4 x}$ 에 더합니다.

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$

단계 2.7.6

항을 다시 정렬합니다.

$96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$

단계 2.7.7

$96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$