미적분 예제

$y = x^{\frac{5}{2}} e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

단계 1.3

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 1.7.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 1.8

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 1.9

$e^{x}$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 1.10.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.7.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.8

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.2.9

$e^{x}$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$\frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.3.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.3.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.8.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.9

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.3.10

$e^{x}$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5 (e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.4.2.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.4.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{4} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

단계 2.4.2.4

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} e^{x}$

단계 2.4.2.5

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 e^{x}}{2}$

단계 2.4.2.6

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$

단계 2.4.2.7

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$ 를 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ 에 더합니다.

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단계 2.4.2.7.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.7.2

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ 를 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ 에 더합니다.

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.8

$2$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.9

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 (x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.10

$10 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 (1)} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 \cdot 1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.2.11.4

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 5 e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$