미적분 예제

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

함수가 $[1, 8]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \ln (x)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x > 0$

단계 2.1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[1, 8]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x}$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 4

도함수가 $(1, 8)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

함수가 $(1, 8)$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = \frac{1}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 4.1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(1, 8)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(1, 8)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(1, 8)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[1, 8]$ 에서 연속이고 $(1, 8)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[1, 8]$ 에서 연속이며 $(1, 8)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[1, 8]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \ln (1)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (1) = 0$

단계 7.2.2

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 8

$[1, 8]$ 구간의 $f (b)$ 를 구합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f (8) = \ln (8)$

단계 8.2

최종 답은 $\ln (8)$ 입니다.

$\ln (8)$

단계 9

$\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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단계 9.1

각 항을 인수분해합니다.

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단계 9.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

단계 9.1.2

$\ln (8)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

단계 9.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

단계 9.1.4

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

단계 9.1.5

$\frac{\ln (8)}{7}$ 을 $\frac{1}{7} \ln (8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

단계 9.1.6

$\frac{1}{7}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{7} \ln (8)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

단계 9.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 9.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x, 1$

단계 9.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 9.3

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

단계 9.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

단계 9.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

단계 9.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.3.1

$\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

단계 9.4

식을 풉니다.

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단계 9.4.1

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

단계 9.4.2

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ 의 각 항을 $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.4.2.1

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ 의 각 항을 $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ 로 나눕니다.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

단계 9.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

단계 9.4.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

단계 10

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ 에서 끝점 $a = 1$ 과 $b = 8$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 11