미적분 예제

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} (t^{12} \ln (t))$

단계 1

해당 도함수는 곱의 미분 법칙을 사용하여 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = t^{12}$ , $g (t) = \ln (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.2

$\ln (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{t}$ 입니다.

$t^{12} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$t^{12}$ 와 $\frac{1}{t}$ 을 묶습니다.

$\frac{t^{12}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2

$t^{12}$ 및 $t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$t^{12}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2.2.2

$t^{1}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t^{11}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.2.2.5

$t^{11}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t^{11} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

단계 2.3.3

$n = 12$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{11} + \ln (t) (12 t^{11})$

단계 2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (t) = t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$

단계 3

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

단계 3.1.2

$n = 11$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$11 t^{10} + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $12 t^{11} \ln (t)$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$ 입니다.

$11 t^{10} + 12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$

단계 3.2.2

$f (t) = t^{11}$ , $g (t) = \ln (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

단계 3.2.3

$\ln (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{t}$ 입니다.

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

단계 3.2.4

$n = 11$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.5

$t^{11}$ 와 $\frac{1}{t}$ 을 묶습니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{11}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6

$t^{11}$ 및 $t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$t^{11}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t^{1}} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6.2.2

$t^{1}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{10}}{1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.2.6.2.5

$t^{10}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$11 t^{10} + 12 (t^{10} + \ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 12 (\ln (t) (11 t^{10}))$

단계 3.3.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$11$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 132 (\ln (t) (t^{10}))$

단계 3.3.2.2

$11 t^{10}$ 를 $12 t^{10}$ 에 더합니다.

$23 t^{10} + 132 \ln (t) t^{10}$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (t) = 23 t^{10} + 132 t^{10} \ln (t)$