미적분 예제

$\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$

단계 1

$\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [256 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$256$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $256 x$ 의 미분은 $256 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.4.3

$256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 + 0$

단계 2.5.2

$2 x^{3} - 96 x + 256$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 96 x + 256$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [256]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 96$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 96 x$ 의 미분은 $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.3.3

$- 96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 + \frac{d}{d x} (256)$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$256$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $256$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $256$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 + 0$

단계 3.4.2

$6 x^{2} - 96$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.4

$\frac{d}{d x} [256 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$256$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $256 x$ 의 미분은 $256 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.4.3

$256$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 + 0$

단계 5.1.5.2

$2 x^{3} - 96 x + 256$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} - 96 x + 256$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x^{3} - 96 x + 256$ 입니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$

단계 6.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 6.2.1

$2 x^{3} - 96 x + 256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3}) - 96 x + 256 = 0$

단계 6.2.1.2

$- 96 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3}) + 2 (- 48 x) + 256 = 0$

단계 6.2.1.3

$256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{3} + 2 (- 48 x) + 2 \cdot 128 = 0$

단계 6.2.1.4

$2 x^{3} + 2 (- 48 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3} - 48 x) + 2 \cdot 128 = 0$

단계 6.2.1.5

$2 (x^{3} - 48 x) + 2 \cdot 128$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3} - 48 x + 128) = 0$

단계 6.2.2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 48 x + 128$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

단계 6.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

단계 6.2.2.3

$4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $4$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 6.2.2.3.1

$4$ 을 다항식에 대입합니다.

$4^{3} - 48 \cdot 4 + 128$

단계 6.2.2.3.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 - 48 \cdot 4 + 128$

단계 6.2.2.3.3

$- 48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$64 - 192 + 128$

단계 6.2.2.3.4

$64$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$- 128 + 128$

단계 6.2.2.3.5

$- 128$ 를 $128$ 에 더합니다.

$0$

단계 6.2.2.4

$4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 48 x + 128}{x - 4}$

단계 6.2.2.5

$x^{3} - 48 x + 128$ 을 $x - 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$48 x$

$128$

단계 6.2.2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$

단계 6.2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 6.2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 6.2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

단계 6.2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$

단계 6.2.2.5.7

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$

단계 6.2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

단계 6.2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} - 16 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

단계 6.2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$

단계 6.2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$

단계 6.2.2.5.12

피제수 $- 32 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$

단계 6.2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							-	$32 x$	+	$128$

단계 6.2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 32 x + 128$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							+	$32 x$	-	$128$

단계 6.2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							+	$32 x$	-	$128$
										$0$

단계 6.2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 4 x - 32$

단계 6.2.2.6

$x^{3} - 48 x + 128$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x - 32)) = 0$

단계 6.2.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 32$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 4, 8$

단계 6.2.3.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$2 ((x - 4) ((x - 4) (x + 8))) = 0$

단계 6.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

단계 6.2.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

유사한 인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1.1

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

단계 6.2.4.1.2

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

단계 6.2.4.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 ({(x - 4)}^{1 + 1} (x + 8)) = 0$

단계 6.2.4.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 ({(x - 4)}^{2} (x + 8)) = 0$

단계 6.2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 {(x - 4)}^{2} (x + 8) = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x + 8 = 0$

단계 6.4

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 6.4.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 6.4.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 6.5

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 6.5.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 6.6

$2 {(x - 4)}^{2} (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 8$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 4, - 8$

단계 9

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 {(4)}^{2} - 96$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 \cdot 16 - 96$

단계 10.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$96 - 96$

단계 10.2

$96$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$0$

단계 11

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

단계 11.2

1차 도함수 $2 x^{3} - 96 x + 256$ 의 $(- \infty, - 8)$ 구간에서 $- 10$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10$ 을 대입합니다.

$f' (- 10) = 2 {(- 10)}^{3} - 96 \cdot - 10 + 256$

단계 11.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1.1

$- 10$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 10) = 2 \cdot - 1000 - 96 \cdot - 10 + 256$

단계 11.2.2.1.2

$2$ 에 $- 1000$ 을 곱합니다.

$f' (- 10) = - 2000 - 96 \cdot - 10 + 256$

단계 11.2.2.1.3

$- 96$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$f' (- 10) = - 2000 + 960 + 256$

단계 11.2.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1

$- 2000$ 를 $960$ 에 더합니다.

$f' (- 10) = - 1040 + 256$

단계 11.2.2.2.2

$- 1040$ 를 $256$ 에 더합니다.

$f' (- 10) = - 784$

단계 11.2.2.3

최종 답은 $- 784$ 입니다.

$- 784$

단계 11.3

1차 도함수 $2 x^{3} - 96 x + 256$ 의 $(- 8, 4)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 2 {(0)}^{3} - 96 \cdot 0 + 256$

단계 11.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 2 \cdot 0 - 96 \cdot 0 + 256$

단계 11.3.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 96 \cdot 0 + 256$

단계 11.3.2.1.3

$- 96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 256$

단계 11.3.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 + 256$

단계 11.3.2.2.2

$0$ 를 $256$ 에 더합니다.

$f' (0) = 256$

단계 11.3.2.3

최종 답은 $256$ 입니다.

$256$

단계 11.4

1차 도함수 $2 x^{3} - 96 x + 256$ 의 $(4, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = 2 {(6)}^{3} - 96 \cdot 6 + 256$

단계 11.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1.1

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = 2 \cdot 216 - 96 \cdot 6 + 256$

단계 11.4.2.1.2

$2$ 에 $216$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 432 - 96 \cdot 6 + 256$

단계 11.4.2.1.3

$- 96$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 432 - 576 + 256$

단계 11.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.2.1

$432$ 에서 $576$ 을 뺍니다.

$f' (6) = - 144 + 256$

단계 11.4.2.2.2

$- 144$ 를 $256$ 에 더합니다.

$f' (6) = 112$

단계 11.4.2.3

최종 답은 $112$ 입니다.

$112$

단계 11.5

1차 도함수의 부호가 $x = - 8$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - 8$ 은 극솟값입니다.

$x = - 8$ 은 극소값입니다.

단계 11.6

1차 도함수의 부호가 $x = 4$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 11.7

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 8$ 은 극소값입니다.

단계 12