미적분 예제

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

단계 1

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 9 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

단계 1.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 9 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 9 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 가 됩니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

단계 3.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

단계 4.2

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

단계 4.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

단계 4.5

$18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

단계 4.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$x^{3} + 9 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.1.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

단계 4.6.1.2

$9 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

단계 4.6.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

단계 4.6.2

$x^{2} (x + 9)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.6.3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.6.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.7

$- 3 x^{2} - 18 x$ 에 $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.8

$- 3 x^{2} - 18 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.8.2

$- 18 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.8.3

$3 x (- x) + 3 x (- 6)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.9

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.9.1

$3 x (- x - 6)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.9.2.1

$x^{4} {(x + 9)}^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

단계 4.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

단계 4.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.10

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.11

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.12

$- (x) - 1 (6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.13

$- (x + 6)$ 을 $- 1 (x + 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

단계 4.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$