미적분 예제

$e^{- 1.5 x^{2}}$

단계 1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 1.5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 1.5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

단계 2.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

단계 2.1.1.3

$u$ 를 모두 $- 1.5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 1.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 1.5 x^{2}$ 의 미분은 $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

단계 2.1.2.3

$2$ 에 $- 1.5$ 을 곱합니다.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

단계 2.1.3

간단히 합니다.

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단계 2.1.3.1

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

단계 2.1.3.2

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ 입니다.

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

단계 3.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.4

$e^{- 1.5 x^{2}}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

단계 3.4.2

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

단계 3.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.4.2.3

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 3.5

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 5

도함수 $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

단계 6.2.3

$- 1.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

단계 6.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

단계 6.2.5

$3$ 와 $\frac{1}{e^{1.5}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

단계 6.2.6

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

단계 6.2.7

$2.71828182$ 를 $1.5$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

단계 6.2.8

$3$ 을 $4.48168907$ 로 나눕니다.

$f' (- 1) = 0.66939048$

단계 6.2.9

최종 답은 $0.66939048$ 입니다.

$0.66939048$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $0.66939048$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

단계 7.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

단계 7.2.3

$- 1.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

단계 7.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

단계 7.2.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{e^{1.5}}$ 을 묶습니다.

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

단계 7.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

단계 7.2.7

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

단계 7.2.8

$2.71828182$ 를 $1.5$ 승 합니다.

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

단계 7.2.9

$3$ 을 $4.48168907$ 로 나눕니다.

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

단계 7.2.10

$- 1$ 에 $0.66939048$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 0.66939048$

단계 7.2.11

최종 답은 $- 0.66939048$ 입니다.

$- 0.66939048$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 0.66939048$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0)$

다음 구간에서 감소: $(0, \infty)$

단계 9