미적분 예제

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$27 - x^{3} = 0$

단계 1.2

$27 - x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $27$ 를 뺍니다.

$- x^{3} = - 27$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $27$ 를 더합니다.

$- x^{3} + 27 = 0$

단계 1.2.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- x^{3} + 27$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$- x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{3}) + 27 = 0$

단계 1.2.3.1.2

$27$ 을 $- 1 (- 27)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

단계 1.2.3.1.3

$- (x^{3}) - 1 (- 27)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{3} - 27) = 0$

단계 1.2.3.2

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

단계 1.2.3.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

단계 1.2.3.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.4.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

단계 1.2.3.4.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

단계 1.2.3.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

단계 1.2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

단계 1.2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.2.6

$x^{2} + 3 x + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x^{2} + 3 x + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

단계 1.2.6.2

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

단계 1.2.6.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 3$ , $c = 9$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

단계 1.2.6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.3

$9$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.4

$- 27$ 을 $- 1 (27)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.7

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.3.1.7.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.4.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.3

$9$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.4

$- 27$ 을 $- 1 (27)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.7

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.4.1.7.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.4.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.4.5

$3 i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

단계 1.2.6.2.4.6

$- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

단계 1.2.6.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.3

$9$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.4

$- 27$ 을 $- 1 (27)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.7

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.5.1.7.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.6.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.5.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.5.5

$- 3 i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

단계 1.2.6.2.5.6

$- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

단계 1.2.6.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.6.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.7

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.3

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2

$27$ 와 $- x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{3} + 27$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

단계 4

$1$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

단계 4.2

$- x^{3} + 27$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

단계 4.6

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

단계 4.7

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

단계 4.8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

단계 4.8.2

$3$ , $1$ 일 때, $27 x$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.4

$81$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.5

$80$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.5.1

$80$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.5.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.5.2.4

$20$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.6

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.7

$27$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

단계 4.8.3.8

$- 27$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 20 + 81 - 27$

단계 4.8.3.9

$81$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$- 20 + 54$

단계 4.8.3.10

$- 20$ 를 $54$ 에 더합니다.

$34$

단계 5