미적분 예제

$f (x) = 7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{9}$ , $g (x) = 3 x^{2} - 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (x^{9} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12] + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$7 (x^{9} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$7 (x^{9} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (x^{9} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$7 (x^{9} (6 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3.5

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$7 (x^{9} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.3.6

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 (x^{9} (6 x) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.4

지수를 더하여 $x^{9}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$7 (x \cdot x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.4.2

$x$ 에 $x^{9}$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 (x^{1} x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 (x^{1 + 9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.4.3

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$7 (x^{10} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.5

$x^{10}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$7 (6 \cdot x^{10} + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 1.6

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (6 x^{10} + (3 x^{2} - 12) (9 x^{8}))$

단계 1.7

$3 x^{2} - 12$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$7 (6 x^{10} + 9 \cdot (3 x^{2} - 12) x^{8})$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 (6 x^{10} + (9 (3 x^{2}) + 9 \cdot - 12) x^{8})$

단계 1.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$7 (6 x^{10} + 9 (3 x^{2}) x^{8} + 9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$7 (6 x^{10}) + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4

항을 묶습니다.

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단계 1.8.4.1

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$42 x^{10} + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$42 x^{10} + 7 (27 x^{2} x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

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단계 1.8.4.3.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$42 x^{10} + 7 (27 (x^{8} x^{2})) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$42 x^{10} + 7 (27 x^{8 + 2}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.3.3

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$42 x^{10} + 7 (27 x^{10}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.4

$27$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

단계 1.8.4.5

$9$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (- 108 x^{8})$

단계 1.8.4.6

$- 108$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$42 x^{10} + 189 x^{10} - 756 x^{8}$

단계 1.8.4.7

$42 x^{10}$ 를 $189 x^{10}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 231 x^{10} - 756 x^{8}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $231 x^{10} - 756 x^{8}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [231 x^{10}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$231$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $231 x^{10}$ 의 미분은 $231 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ 입니다.

$231 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

단계 2.2.2

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$231 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

단계 2.2.3

$10$ 에 $231$ 을 곱합니다.

$2310 x^{9} + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 756$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 756 x^{8}$ 의 미분은 $- 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 입니다.

$2310 x^{9} - 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$

단계 2.3.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2310 x^{9} - 756 (8 x^{7})$

단계 2.3.3

$8$ 에 $- 756$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2310 x^{9} - 6048 x^{7}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2310 x^{9} - 6048 x^{7}$ 입니다.

$2310 x^{9} - 6048 x^{7}$