미적분 예제

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$h (x)$ 는 $[0, π]$ 에서 연속입니다.

$h (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $h$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

단계 5

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

단계 6

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 6.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 6.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 6.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 6.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (π)$

단계 6.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = - \cos (0)$

단계 6.5.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

단계 6.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

단계 8

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

단계 10

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$- 1$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

단계 11.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

단계 11.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

단계 11.2.4

$- \frac{1}{5}$ 에서 $\frac{1}{5}$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

단계 11.2.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

단계 11.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

단계 11.2.7

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

단계 11.2.8

$6$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

단계 11.2.9

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

단계 12

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

단계 12.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

단계 13

분수를 통분합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{π}$ 에 $\frac{12}{5}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

단계 13.2

$π$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

단계 14