미적분 예제

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $g (t)$ 이 $[2, 5]$ 에서 연속인지 판단하려면 $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{5 + t^{2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$5 + t^{2} \geq 0$

단계 1.2

$t$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

부등식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$t^{2} \geq - 5$

단계 1.2.2

좌변이 짝수의 지수를 가지므로 모든 실수에 대해 항상 양입니다.

모든 실수

단계 1.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

단계 1.4

$t$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

단계 1.4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 + t^{2}}$ 을(를) ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 1.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.2.1

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.2.1.1

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 1.4.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 1.4.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

단계 1.4.2.2.1.2

간단히 합니다.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

단계 1.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 + t^{2} = 0$

단계 1.4.3

$t$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.4.3.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$t^{2} = - 5$

단계 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

단계 1.4.3.3

$\pm \sqrt{- 5}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.3.1

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

단계 1.4.3.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

단계 1.4.3.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \pm i \sqrt{5}$

단계 1.4.3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.4.3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$t = i \sqrt{5}$

단계 1.4.3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$t = - i \sqrt{5}$

단계 1.4.3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

단계 1.5

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${t | t \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${t | t \in ℝ}$

단계 2

$g (t)$ 는 $[2, 5]$ 에서 연속입니다.

$g (t)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $g$ 의 평균값은 $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

단계 5

먼저 $u = 5 + t^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 t d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 5 + t^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$5 + t^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $5 + t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 5.1.3

$5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 5.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 t$

단계 5.1.5

$0$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$2 t$

단계 5.2

$u = 5 + t^{2}$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = 5 + 4$

단계 5.3.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 5.4

$u = 5 + t^{2}$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 5 + 25$

단계 5.5.2

$5$ 를 $25$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 30$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

단계 6.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 8

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

단계 8.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

단계 8.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

단계 8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$30$ , $9$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 10.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 10.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

단계 10.2.4

지수값을 계산합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

단계 10.2.5

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

단계 11.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1

$2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

단계 11.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

단계 11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

단계 11.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

단계 11.3.2

공약수로 약분합니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

단계 11.3.3

수식을 다시 씁니다.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

단계 12

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

단계 13

분배 법칙을 적용합니다.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

단계 14

$\frac{1}{3}$ 와 $30^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

단계 15

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

단계 15.2

공약수로 약분합니다.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

단계 15.3

수식을 다시 씁니다.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

단계 16