미적분 예제

$y = \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{3} x)$ , $(3, \frac{π}{8})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = \frac{π}{8}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{1}{3} x)$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{3} x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{3} x)]$

단계 1.2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{1}{3} x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{3} x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x])$

단계 1.2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{3} x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{3} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x])$

단계 1.3.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

단계 1.3.2.2

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{3})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

단계 1.3.2.3

$1 + {(\frac{x}{3})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

단계 1.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 (2 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

단계 1.3.6

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

단계 1.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

단계 1.4.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{9}}$

단계 1.4.3.3

$6$ 와 $\frac{x^{2}}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{9}}$

단계 1.4.3.4

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.4.1

$6 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{3 (2 x^{2})}{9}}$

단계 1.4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.4.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (3)}}$

단계 1.4.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6 + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 3}}$

단계 1.4.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6 + \frac{2 x^{2}}{3}}$

단계 1.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\frac{2 x^{2}}{3} + 6}$

단계 1.4.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

$\frac{2 x^{2}}{3} + 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1.1

$\frac{2 x^{2}}{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 \frac{x^{2}}{3} + 6}$

단계 1.4.5.1.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \cdot 3}$

단계 1.4.5.1.3

$2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (\frac{x^{2}}{3} + 3)}$

단계 1.4.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}$

단계 1.4.5.3

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}$

단계 1.4.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 \frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

단계 1.4.5.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \frac{x^{2} + 9}{3}}$

단계 1.4.6

$2$ 와 $\frac{x^{2} + 9}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{2 (x^{2} + 9)}{3}}$

단계 1.4.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{3}{2 (x^{2} + 9)}$

단계 1.4.8

$\frac{3}{2 (x^{2} + 9)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 (x^{2} + 9)}$

단계 1.5

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2 ({(3)}^{2} + 9)}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3}{2 (9 + 9)}$

단계 1.6.1.2

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 18}$

단계 1.6.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{36}$

단계 1.6.2.2

$3$ 및 $36$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (1)}{36}$

단계 1.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.2.1

$36$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

단계 1.6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

단계 1.6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{12}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $\frac{1}{12}$ 과 주어진 점 $(3, \frac{π}{8})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 3$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{12}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 3$

단계 2.3.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{1}{3 (4)} \cdot - 3$

단계 2.3.1.5.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 2.3.1.6

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{12} - \frac{1}{4}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\frac{π}{8}$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{8}$

단계 2.3.3.4

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

단계 2.3.3.5

$π$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

단계 2.3.3.6

$- 1 (2) - 1 (- π)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

단계 2.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{8}$

단계 2.3.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{8}$

단계 3