미적분 예제

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = \frac{π}{8}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 1.2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

단계 1.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

단계 1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

단계 1.4.4

$2 x^{2} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

단계 1.4.4.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

단계 1.4.4.3

$2 (x^{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 1.5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

단계 1.6.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 1.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{4}$ 과 주어진 점 $(1, \frac{π}{8})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 2.3.1.5

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\frac{π}{8}$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

단계 2.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

단계 2.3.3.4

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

단계 2.3.3.5

$π$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

단계 2.3.3.6

$- 1 (2) - 1 (- π)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

단계 2.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

단계 2.3.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

단계 3