미적분 예제

$f (x) = \sin (4 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

단계 1.1.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x) \cdot 4$

단계 1.1.2.3.2

$\cos (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f' (x) = 4 \cos (4 x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 \cos (4 x)$ 입니다.

$4 \cos (4 x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 \cos (4 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 \cos (4 x) = 0$

단계 2.2

$4 \cos (4 x) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 \cos (4 x) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.2.1.2

$\cos (4 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (4 x) = \frac{0}{4}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\cos (4 x) = 0$

단계 2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$4 x = \arccos (0)$

단계 2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$4 x = \frac{π}{2}$

단계 2.5

$4 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$4 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

단계 2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 2.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{8}$

단계 2.6

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$4 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.7.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.7.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.7.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$4 x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.7.2

$4 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$4 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

단계 2.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

단계 2.7.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

단계 2.7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

단계 2.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

단계 2.7.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{8}$

단계 2.8

$\cos (4 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

단계 2.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$\frac{2 π}{4}$

단계 2.8.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (π)}{4}$

단계 2.8.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 2.8.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 2.8.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π}{2}$

단계 2.9

함수 $\cos (4 x)$ 의 주기는 $\frac{π}{2}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{π}{2}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

단계 2.10

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sin (4 x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{π}{8}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{π}{8}$ 를 대입합니다.

$\sin (4 (\frac{π}{8}))$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sin (4 \frac{π}{4 (2)})$

단계 4.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

단계 4.1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (\frac{π}{2})$

단계 4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4.2

$x = \frac{3 π}{8}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\frac{3 π}{8}$ 를 대입합니다.

$\sin (4 (\frac{3 π}{8}))$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sin (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

단계 4.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

단계 4.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

단계 4.2.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \sin (\frac{π}{2})$

단계 4.2.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.2.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(\frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, 1), (\frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, - 1)$

단계 5