미적분 예제

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

단계 1

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\tan (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.2

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.3

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.4

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 6

$\csc (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 7

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (t)$ 를 $1 + \tan^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

단계 8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 8.2

각 항을 간단히 합니다.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 10

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 11

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (t)$ 에 적용합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

단계 12

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (t)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

단계 13.2

조합합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

단계 13.3

${\sin (t)}^{2}$ 및 $\sin (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$1 {\sin (t)}^{2}$ 에서 $\sin (t)$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

단계 13.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.2.1

$\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ 에서 $\sin (t)$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

단계 13.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

단계 13.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

단계 13.4

$\sin (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 14

$1$ 을 곱합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 15

$\cos^{2} (t)$ 에서 $\cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

단계 16

분수를 나눕니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

단계 17

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 을 $\tan (t)$ 로 변환합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

단계 18

$\frac{1}{\cos (t)}$ 을 $\sec (t)$ 로 변환합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

단계 19

$\sec (t)$ 의 도함수는 $\tan (t) \sec (t)$ 이므로, $\tan (t) \sec (t)$ 의 적분값은 $\sec (t)$ 이 됩니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

단계 20

간단히 합니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

단계 21

$t$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

단계 22

답은 함수 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$