미적분 예제

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - x + 9$ , $g (x) = 3 x - 3$ 일 때 $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

${(- x + 9)}^{2}$ 을 $(- x + 9) (- x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 9) (- x + 9)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.5

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.6

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.1.7

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.3.2

$- 9 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

단계 2.1.4

${(3 x - 3)}^{2}$ 을 $(3 x - 3) (3 x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

단계 2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x - 3) (3 x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

단계 2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

단계 2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.4

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.5

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

단계 2.1.6.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

단계 2.1.6.2

$- 9 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

단계 2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

단계 2.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

단계 2.1.8.2

$- 18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

단계 2.1.8.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 18 x$ 를 $18 x$ 에 더합니다.

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

단계 2.2.1.2

$x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

단계 2.2.2

$x^{2}$ 에서 $9 x^{2}$ 을 뺍니다.

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

단계 2.2.3

$81$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$V = - 8 x^{2} + 72$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

단계 4

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

단계 8.2

$3$ , $0$ 일 때, $72 x$ 값을 계산합니다.

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.4

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.6

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.7

$- 8$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.8

$72$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

단계 8.3.9

$- 72$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

단계 8.3.10

$216$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (- 72 + 216)$

단계 8.3.11

$- 72$ 를 $216$ 에 더합니다.

$V = π \cdot 144$

단계 8.3.12

$π$ 의 왼쪽으로 $144$ 이동하기

$V = 144 π$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = 144 π$

소수 형태:

$V = 452.38934211 \dots$

단계 10