미적분 예제

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$ 일 때 $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ 을 $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ 를 전개합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.2

$\frac{5 x}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{5 x}{2}$ 에 $\frac{5 x}{2}$ 을 곱합니다.

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.4

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.1.9

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$- \frac{5 x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.2.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.3

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

$- \frac{5 x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.4.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.5

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

단계 2.3.1.6

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

단계 2.3.2

$- 15 x$ 에서 $15 x$ 을 뺍니다.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 4

$\frac{25}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{25}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 6.2

$\frac{25}{4}$ 와 $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 7

$- 30$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 30$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

단계 11.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

단계 11.3

$1$ , $0$ 일 때, $36 x$ 값을 계산합니다.

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.5

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.6

$25$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.7

$\frac{\frac{25}{3}}{4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.8

$\frac{25}{3}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.9

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.11

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.12

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.12.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.12.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.12.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.14

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.15

$- 30$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.16

$- 30$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.16.1

$- 30$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.16.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.16.2.4

$- 15$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.17

공통 분모를 가지는 분수로 $- 15$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.18

$- 15$ 와 $\frac{12}{12}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.20

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.20.1

$- 15$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.20.2

$25$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.22

$36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

단계 11.4.23

$- 36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

단계 11.4.24

$36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

단계 11.4.25

공통 분모를 가지는 분수로 $36$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

단계 11.4.26

$36$ 와 $\frac{12}{12}$ 을 묶습니다.

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

단계 11.4.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

단계 11.4.28

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.28.1

$36$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

단계 11.4.28.2

$- 155$ 를 $432$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{277}{12})$

단계 11.4.29

$π$ 와 $\frac{277}{12}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

단계 11.4.30

$π$ 의 왼쪽으로 $277$ 이동하기

$V = \frac{277 π}{12}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{277 π}{12}$

소수 형태:

$V = 72.51843042 \dots$

단계 13