미적분 예제

$y = \frac{x^{2}}{4}$ , $x = 3$ , $y = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{4}$ 일 때 $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{x^{2}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

단계 2.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

단계 2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

단계 2.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = \frac{x^{4}}{16}$

단계 3

$\frac{1}{16}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

단계 4

$\frac{1}{16}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{5} x^{5}$ 값을 계산합니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

단계 6.2.2

$\frac{1}{5}$ 와 $243$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

단계 6.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

단계 6.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

단계 6.2.5

$0$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

단계 6.2.6

$\frac{243}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{243}{5}$

단계 6.2.7

$\frac{π}{16}$ 에 $\frac{243}{5}$ 을 곱합니다.

$V = \frac{π \cdot 243}{16 \cdot 5}$

단계 6.2.8

$16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = \frac{π \cdot 243}{80}$

단계 6.2.9

$π$ 의 왼쪽으로 $243$ 이동하기

$V = \frac{243 π}{80}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{243 π}{80}$

소수 형태:

$V = 9.54258768 \dots$

단계 8