미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 5}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 x^{2} + 3 x - 1}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 5}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 5}$

단계 1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.3.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.4.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.6

$10 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 3.8

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.8.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 3.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 3.8.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{8 x + \frac{d}{d x} [5]}$

단계 3.9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{8 x + 0}$

단계 3.10

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{8 x}$

단계 4

$\frac{1}{8}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 3}{x}$

단계 5

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.1.2

$10$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{3}{x}}{1}$

단계 6.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $10$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{10 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{10 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{10 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{10 + 3 \cdot 0}{1}$

단계 8.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$10 + 3 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (10 + 3 \cdot 0)$

단계 8.2.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (10 + 0)$

단계 8.2.3

$10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \cdot 10$

단계 8.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (4)} \cdot 10$

단계 8.2.4.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 5)$

단계 8.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 5)$

단계 8.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot 5$

단계 8.2.5

$\frac{1}{4}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4}$