미적분 예제

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.4

$t$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.4.1

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.4.2

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.5.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.2.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.3

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $8^{t} - 5^{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.3

$a$ = $8$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 5^{t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.4.2

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.4.3

괄호를 제거합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

단계 4

$8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

단계 5

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

단계 6

$\ln (8)$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

단계 7

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

단계 8

$\ln (5)$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

단계 9

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

단계 10

$t$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 10.1

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

단계 10.2

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

단계 11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

단계 11.1.2

$\ln (8)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

단계 11.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

단계 11.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (8) - \ln (5)$

단계 11.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{8}{5})$