미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

$x$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

단계 1.2.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

$1$ 와 $- 2 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 1}$

단계 1.3.2

최고차항 계수가 음수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

단계 3.8

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.8.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

단계 3.8.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

단계 3.9

$0$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

단계 4

$\frac{1}{- 4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

단계 5

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

단계 6.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

단계 8.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

단계 8.2.2

$2 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

단계 8.2.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

단계 8.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.4.1

$- \frac{1}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

단계 8.2.4.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

단계 8.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

단계 8.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{2}$

단계 8.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2}$