미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.2.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $7$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

0이 아닌 상수 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.2.3.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

단계 1.3.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $7$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

단계 1.3.2

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $8$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 1.3.2.1

상수 배수 $8$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.3.2.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

단계 1.3.3

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $7 - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.5

$0$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $7 + 8 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

단계 3.7

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

단계 3.8

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.8.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 e^{x}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 3.8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

단계 3.9

$0$ 를 $8 e^{x}$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

단계 4

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

단계 5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{- 1}{8}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 1}{8}$

단계 6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{8}$